Принцип возможных перемещений

15. Главные теоретические положения [1,2,4,5]

Для равновесия механической системы с безупречными связями необ­ходимо и довольно чтоб сумма простых работ всех действующих на нее активных сил при любом вероятном перемещение системы была равна нулю. Математически сформулированное условие равновесие выра­жается равенством:

Простая работа приложенной к телу силы F будет равен:

.

Простая работа равна произведению Принцип возможных перемещений крутящего момента на простый угол поворота:

δA(M)= ,

где угол поворота равен:

.

ПРИМЕР 15.1

Пользуясь принципом вероятных перемещений, найти для составной конструкции, изображенной на схеме (рис.15.1 ), реактивный момент и вертикальную составляющую реакции заделки, если . , , м, кН, кН.

Рис.15.2

Решение:

Для определения реактивного момента заменим заделку в точке А шарнирно Принцип возможных перемещений-неподвижной опорой, компенсировав отброшенную связь ее реакцией – реактивной парой сил с неведомым моментом (рис.15. 2).

Получившейся механической системе с одной степенью свободы даем вероятное перемещение, повернув на уровне мыслей уголок АДВ на нескончаемо малый угол , к примеру по часовой стрелке. Точка В получит при всем этом вероятное перемещение , направленное перпендикулярно АВ Принцип возможных перемещений и равное по модулю ; точка С получит вероятное перемещение , параллельное опорной плоскости шарнирно-неподвижной опоры С; стержень ВС оборотится вокруг точки L – центра поворота, определенного как и МЦС в кинематике, как точка скрещения перпендикуляров, проведенных через точки В и С к фронтам их вероятных перемещений. Угол , на Принцип возможных перемещений который стержень ВС оборотится вокруг точки L, определяется равенством:

, откуда

.

Для нахождения воспользуемся аксиомой синусов. Из (см. рис. 15.2):

.

Отсюда:

.

Как следует,

.

Сейчас подсчитаем и приравняем к нулю сумму работ сил , и пары с моментом при вероятном перемещении системы.

Используя правило: работа сил, приложенных к вращающемуся телу, равна взятому с подходящим Принцип возможных перемещений знаком произведению момента сил относительно оси вращения на угол поворота. Потому:

.

Тут в первых скобах записана сумма моментов силы и реактивной пары относительно точки А. Для определения момента силы она была разложена на вертикальную и горизонтальную составляющие. Со знаком плюс записаны моменты, направленные в сторону поворота . Момент пары записан со знаком Принцип возможных перемещений минус, потому что она стремится крутить уголок в направлении, обратном вероятному перемещению . Во вторых скобках записано плечо силы относительно точки L. Символ минус перед 2-ой скобкой поставлен поэтому, что сила стремится крутить стержень ВС вокруг точки L в направлении обратном вероятному перемещению .

Заменяя в прошлом равенстве его выражением Принцип возможных перемещений через и беря во внимание, что , , можем переписать его в виде:

.

Потому что , то отсюда:

кН×м.

Для нахождения вертикальной составляющей реакции заделки А заменим в начальной схеме заделку ползуном, который может передвигаться в вертикальном направлении и к которому агрессивно прикреплен угол АДВ, а отброшенную связь компенсируем вертикальной реакцией Принцип возможных перемещений (рис.15. 3).

Даем получившейся механической системе вероятное перемещение, на уровне мыслей переместив угол АДВ поступательно ввысь ( ). Стержень ВС оборотится вокруг центра поворота G на угол . Уравнение принципа вероятных перемещений запишется в виде:

,

откуда, беря во внимание, что , , , получаем

кН.

ПРИМЕР 15.2

Для данной секции (рис.15. 4) найти реакции в опорах и , считая основание Принцип возможных перемещений неразрывно связанным с почвой. Геометрические размеры и силовые характеристики приведены в таблице 15.1

.

Таблица 15.1

Начальные данные для примера 15.2

АВ, м ВС, м СD, м q1, кН/м q2, кН/м q3, кН/м q4, кН/м
2,5 3,0 2,2 3,0 2,5 3,4 2,0

Заменим действие распределенных нагрузок сосредоточенными силами:

.

В согласовании с этим схема секции воспримет вид Принцип возможных перемещений рисунка 15.4.

Реакция опоры представляет собой совокупа 2-ух составляющих и . Для определения горизонтальной составляющей цилиндрический шарнир на уровне мыслей заменим ползуном, дающим возможность перемещения точки в горизонтальном направлении. Придадим системе вероятное перемещение под действием реакции . В данном случае, звено воспримет положение , переместившись поступательно на величину на лево (рис Принцип возможных перемещений.15.5.).

Рис15.4 Схема

Рис.15.5

Звено займет положение , повернувшись на угол относительно точки , звено - положение . Угол его поворота, разумеется, равен углу поворота . Вследствие полости угла поворота вертикальным перемещением звена можно пренебречь. Согласно вышесказанному запишем уравнение работ, выражающее принцип вероятных перемещений:

;

откуда:

.

Для определения вертикальной составляющей заменим на уровне мыслей цилиндрический шарнир ползуном Принцип возможных перемещений, дающим возможность вертикального перемещения точки (рис.14.6).

Рис.14.6

Придадим системе вероятное перемещение под действием реакции . Тогда звено будет находиться в плоском движении с моментальным центром вращения в точке и оборотится на угол , звенья и оборотятся относительно соответственно шарниров и на однообразный угол ,, а вертикальным перемещением звена можно пренебречь. Запишем уравнение работ:

.

Выразим вероятные Принцип возможных перемещений перемещения точек приложения сил через . угол поворота звена вокруг точки :

;

где .

Вероятное перемещение точки :

,

где

Вероятное перемещение точки С:

.

Подставим отысканные величины:

.

Откуда:

Реакция в шарнире также может быть разложена на две составляющие , . Произведем с шарниром те же преобразования, что и для шарнира . Для расчетной схемы Принцип возможных перемещений с горизонтальным ползуном (рис.7), которая подразумевает поступательное перемещение звеньев , и на лево на величину и поворот звена относительно шарнира на угол , получим последующее уравнение работ:

Откуда:

.

Рис.14.7

Для определения горизонтальной составляющей реакции в опоре на уровне мыслей заменим шарнир горизонтальным ползуном (рис.14.8).

Рис.14.8

Моментальный центр вращения звена находится в точке , как следует Принцип возможных перемещений, данная схема подразумевает только движение 1-го звена системы: поворот звена вокруг точки на угол . Составим уравнение работ, придав системе вероятное перемещение в точке :откуда:

.

Заменим на уровне мыслей шарнир в точке на вертикальный ползун и придадим системе вероятное перемещение в направлении составляющей реакции (рис.14.9).

Рис.14.9

В Принцип возможных перемещений данном случае, звено оборотится на угол относительно точки , а звено опустится вертикально вниз на величину , при этом будет соблюдено соотношение:

.

Запишем уравнение работ:

;

откуда:

.

Реакция ориентирована в обратную сторону.

Для определения вертикальной составляющей реакции воспользуемся расчетной схемой, представленной на рис.14.10.

Рис.14.10

Заменив шарниры , , вертикальными ползунами и добавив соответственно реакции , и придадим системе Принцип возможных перемещений вероятное перемещение в вертикальном направлении . В данном случае все звенья системы переместятся поступательно на данную величину. Уравнение работ будет иметь вид:

;

откуда:

Таким макаром, определены все составляющие реакций в опорах , , . Произведем проверку решения, для этого составим для уравнения равновесия сил:

Достаточно значимые расхождения обоснованы некими допущениями, принятыми при решении Принцип возможных перемещений.


princip-glasnosti-sudebnogo-razbiratelstva.html
princip-gyujgensa-frenelya.html
princip-individualizacii.html